线性代数学习笔记-2-矩阵消元
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一个好的矩阵当然是可以求出解，利用高斯消元法，主元不能为零，为零的话，尝试公式上下换个位置，所以一个好的矩阵，他应该在消元之后，剩下 3 个不为零的主元$\left { \begin{array}{c} x+2y+z=2 \ 3x+8y+z=12 \ 0x+4y+z=2 \end{array} \right.$
它的矩阵(增广矩阵)表示为：
$$
\left[ \begin{array} {c c c | c} 1 & 2 & 1 & 2 \ \hline 3 & 8 & 1 & 12 \ \hline 0 & 4 & 1 & 12 \end{array} \right]
$$第一列*3，被第二列减去
$$
\left[ \begin{array} {c c c | c} 1 & 2 & 1 & 2 \ \hline 0 & 2 & -2 & 6 \ \hline 0 & 4 & 1 & 2 \end{array} \right]
$$由于第三列的主元为 0 不需要消元
第二列*2 被 3 列减去
$$
\left[ \begin{array} {c c c | c} 1 & 2 & 1 & 2 \ \hline 0 & 2 & -2 & 6 \ \hline 0 & 0 & 5 & -10 \end{array} \right]
$$$$
\left { \begin{array}{c} x+2y+z=2 \ 0x+2y-2z=6 \ 0x+0y+5z=-10 \end{array} \right.
$$回代得出
$$
\left { \begin{array}{c} z=-2 \ y=1 \ x=2 \end{array} \right.
$$问题：观察一下一个 2_2 的矩阵右乘一个 2_1 的矩阵，左乘一个 1*2 的矩阵。对于
$$
\begin{bmatrix}a & b \ c & d\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \ y\ \end{bmatrix}
$$我们可以理解成列向量
$$
\begin{bmatrix}a \ c \ \end{bmatrix}
$$与列向量
$$
\begin{bmatrix}b \ d \ \end{bmatrix}
$$的线性组合,那么有趣的来了对于
$$
\begin{bmatrix}1 & 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a & b \ c & d\ \end{bmatrix}
$$我同样可以看作向量的组合，这次我可以看作是
$$
\begin{bmatrix}1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a & b \ \end{bmatrix}
$$和
$$
\begin{bmatrix}2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}c & d \ \end{bmatrix}
$$的列向量组合。这种解释是想让我们把问题作为向量的线性组合来看。
引入矩阵
$$
\begin{bmatrix}1 & 2 & 1 \ 3 & 8 & 1\ 0 & 4 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \ y\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 \ 12 \ 2 \end{bmatrix}
$$增广(增加了一列)矩阵就是把矩阵的右侧向量 b 加入到矩阵 A 中
$$
\left[ \begin{array} {c c c | c} 1 & 2 & 1 & 2 \ \hline 3 & 8 & 1 & 12 \ \hline 0 & 4 & 1 & 2 \end{array} \right]
$$对于上面的向量组合的解释，对于下面的矩阵如何看待
$$
\begin{bmatrix}1 & 2 & 1 \ 3 & 8 & 1\ 0 & 4 & 1 \end{bmatrix}
$$第一步进行消元之后得到了矩阵
$$
\begin{bmatrix}1 & 2 & 1 \ 0 & 2 & -2\ 0 & 4 & 1 \end{bmatrix}
$$我们把他们看作一个个列向量，那么如果通过列向量的组合来得到矩阵结果
$$
\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \ -3 & 1 & 0\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \ 3 & 8 & 1\ 0 & 4 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 2 & 1 \ 0 & 2 & -2 \ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}
$$这个矩阵我们称为$E_{32}$(单位矩阵)，改动了第 3 行第 2 列的数据,我们通过$E_{21}(E_{32}A)=U$。我们也可以直接$(E_{21}E_{32})A=U$,一步得到消去的方程。
逆矩阵
问题:我们通过左乘矩阵来完成了矩阵的消元，同时我们也知道了单位矩阵的改变，这同时也记录了我们对原矩阵的改变，那么我们如何把 U 还原成 A 呢?也就是我们如何让
$$
\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \ 3 & 1 & 0\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ -3 & 1 & 0\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
$$我们通过第二列矩阵减去一个 3 倍的第一列矩阵，那么不就抵消了之前的操作嘛。变回单位矩阵，我们左乘一个逆矩阵，来得到一个单位矩阵
矩阵如何列变换？
即如果满足
$$
\begin{bmatrix}a & b \ c & d \end{bmatrix} => \begin{bmatrix}b & a \ d & c \end{bmatrix}
$$$$
\begin{bmatrix}a & b \ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix}0 & 1 \ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}b & a \ d & c \end{bmatrix}
$$如何完成行交换?
$$
\begin{bmatrix}a & b \ c & d \end{bmatrix} => \begin{bmatrix}c & d \ a & b \end{bmatrix}
$$$$
\begin{bmatrix}0 & 1 \ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a & b \ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}c & d \ a & b \end{bmatrix}
$$