线性代数学习笔记-1-方程组的几何解释

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如何求解几何方程

对于上面的 2 个 2 个未知数方程式的解，他们代表了 2 条线交互于一点。就是他们的解(在有解的情况下，因为他们也许在 x,y 坐标上也可能不相交，就是 2 条相互平行的线)。这就是这组方程在几何上表达的关系，线性代数也能将他们描述成 2 个向量的和。实则他们都在解决同一个问题。转化为矩阵的情况如下:

$$\left[\begin{array}{ccc}1& 23& 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}xy\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}03\end{array}\right]$$

同时也可以看成

$$A\ast x=b$$

矩阵的乘法是左侧的行向量乘上右侧的列向量，就还原成列了上述的方程式。也可以从另一个角度变成:

$$x\left[\begin{array}{c}2-1\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{c}-12\end{array}\right]$$

那么就理解成了找一个 x 倍数的列向量 a 和一个 y 倍数的列向量 b，他们组合成列向量

$$\left[\begin{array}{c}03\end{array}\right]$$

那么他们表达出来的图像就分别如下:

行向量图

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列向量图

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方程的目的是什么

是寻找

$$x\left[\begin{array}{c}2-1\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{c}-12\end{array}\right]$$

的组合构成

$$\left[\begin{array}{c}03\end{array}\right]$$

这 2 张图都是针对同一个问题提出的 2 种看法，他们的解是一样的。

选取所有的 x,y 组合起来，是什么

如果 2 个向量不能相互表示，那么他们就能通过改变 x,y 的系数来得到这个平面上的所有向量，就好像 x 轴和 y 轴一样。同理对于一个 3*3 的方程组，例如:

$$
\left { $$\begin{array}{c}2x-y+z=0-x+2y-z=-10x-3y+4z=4\end{array}$$ \right.
$$

对于上面三个方程组，我们假设一下去取出他的值(就是固定一个列向量，另外 2 个列向量的系数随机构成只要结果和右侧相等)，那么每一个方程就得到了一个平面，3 个平面相交于一点就是他们的解。

那么对于他们的列向量图像:

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保持 A 不变，那么对于任意的 b 是否可以求出解(所有的列的线性组合是否可以覆盖三维空间，上面的方程组是 3 个未知数的)

上述方程可以，因为他们的列是独立的，无法相互表达，这叫做非奇异矩阵或可逆矩阵，也可以说他们不能同时在一个平面上，如果他们在同一个平面上那么他们之间的组合也一定在在这个平面上，虽然有 3 列，但是其中实际只有 2 列，因为其他的 2 列能组合成第三列